志第九

大統曆法一下【法原】

日月五星平立定三差

太陽盈縮平立定三差之原

冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，【就整。】離爲六段，每段各得一十四日八十二刻。【就整。】各段實測日躔度數，與平行相較，以爲積差。

各置其段積差，以其段積日除之，爲各段日平差。置各段日平差，與後段日平差相減，爲一差。　置一差，與後段一差相減，爲二差。

置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，爲汎平積。　以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差三十八分四十五秒，餘三十七分〇七秒，爲汎平積差。　另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，爲汎立積差。　以汎平積差三十七分〇七秒，加入汎平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，爲定差。　以汎立積差六十九秒，去減汎平積差三十七分〇七秒，餘三十六分三十八秒爲實，以段日一十四日八十二刻爲法除之，得二分四十六秒爲平差。　置汎立積差六十九秒爲實，以段日爲法除二次，得三十一微，爲立差。

夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，【就整。】離爲六段，每段各得一十五日六十二刻。【就整。】各段實測日躔度數，與平行相較，以爲積差。

推日平差、一差、二差術，與盈初縮末同。

置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，爲汎平積。　以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十五分一十四秒，爲汎平積差。　另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，爲汎立積差。　以汎平積差三十五分一十四秒，加入汎平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分〇六秒，爲定差。　以汎立積差六十六秒五十微，去減汎平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微爲實，以段日一十五日六二爲法除之，得二分二十一秒，爲平差。　置汎立積差六十六秒五十微爲實，以段日爲法，除二次，得二十七微，爲立差。

凡求盈縮，以入曆初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以減定差，餘數以初末日乘之，爲盈縮積。

凡盈曆以八十八日九〇九二二五爲限，縮曆以九十三日七一二〇二五爲限。在其限已下爲初，以上轉減半歲周餘爲末。盈初是從冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。

盈縮招差圖

盈縮招差圖說

盈縮招差，本爲一象限之法。【如盈曆則以八十八日九十一刻爲象限，縮曆則以九十三日七十一刻爲象限。】今止作九限者，舉此爲例也。其空格九行定差本數，爲實也。其斜線以上平差立差之數，爲法也。斜線以下空格之定差，乃餘實也。假如定差爲一萬，平差爲一百，立差爲單一。今求九限法，以九限乘定差得九萬爲實。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。幷兩數得八千八百二十九爲法。以法減實，餘八萬一千一百七十一，爲九限積。又法，以九限乘平差得九百，又以九限乘立差二次得八十一，幷兩數得九百八十一爲法，定差一萬爲實，以法減實，餘九千零一十九，即九限末位所書之定差也。於是再以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，爲九限積，與前所得同。蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。

按授時曆於七政盈縮，並以垛積招差立算，其法巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳九章諸書，不載其術，曆草載其術，而不言其故。宣城梅文鼎爲之圖解，於平差、立差之理，垛積之法，皆有以發明其所以然。有專書行於世，不能備錄，謹錄招差圖說，以明立法之大意云。

凡布立成

盈初縮末　置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，爲加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十三秒八十六微，爲平立合差。　置定差五百一十三分三十二秒，內減平差二分四十六秒，再減立差三十一微，餘五百一十〇分八十五秒六十九微，爲加分。

縮初盈末　置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，爲加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，爲平立合差。　置定差四百八十七分〇六秒，內減平差二分二十一秒，再減立差二十七微，餘四百八十四分八十四秒七十三微，爲加分。

已上所推，皆初日之數。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，爲次日平立合差。以平立合差減其日加分，爲次日加分。盈縮並同。其加分累積之，即盈縮積，其數並見立成。

太陰遲疾平立定三差之原

太陰轉周二十七日五十五刻四六，測分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象爲法，除轉周日，得每象六日八八八六五，分爲七段，每段下實測月行遲疾之數，與平行相較，以求積差。

各置其段積差，以其段積限爲法除之，爲各段限平差。置各段限平差，與後段相減爲一差。　置一差，與後段一差相減爲二差。

置第一段限平差一十〇分七二六爲汎平積。　置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六減之，餘三十八秒四十微，爲汎平積差。　另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，爲汎立積差。　以汎平積差三十八秒四十微，加汎平積一十〇分七二六，得一十一分一十一秒。爲定差。　置汎平積差三十八秒四十微，以汎立積差四秒六十八微減之，餘三十三秒七十二微爲實，以十二限爲法除之，得二秒八十一微，爲平差。　置汎立積差四秒六十八微爲實，十二限爲法，除二次，得三微二十五纖，爲立差。

凡求遲疾，皆以入曆日乘十二限二十分，以在八十四限已下爲初，已上轉減一百六十八限餘爲末。各以初末限乘立差，得數以加平差，再以初末限乘之，得數以減定差，餘以初末限乘之，爲遲疾積。　其初限是從最遲最疾處順推至後，末限是從最遲最疾處逆溯至前，其距最遲疾處同，故其積度同。【太陰與太陽立法同，但太陽以定氣立限，故盈縮異數。太陰以平行立限，故遲疾同原。】

布立成法　置立差三微二十五纖，以六因之，得一十九微五十纖，爲損益立差。　置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加損益立差一十九微五十纖，共得五秒八十一微，爲初限平立合差。自此以損益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，積至二十一秒四一五，爲平立合差之極。八十一限下差一秒七八〇九，八十二限下一秒七八〇八，至八十三限下，平立合差，與益分中分，爲益分之終。八十四限下差，亦與損分中分，爲損分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以損益立差累減之，即每限平立合差，至末限與初限同。　置定差一十一分一十一秒，內減平差二秒八十一微，再減立差三微二十五纖，餘一十一分〇八秒一十五微七十五纖，爲加分定差，即初限損益分。　置損益分，以其限平立合差益減損加之，即爲次限損益分。　以益分積之，損分減之，便爲其下遲疾度。　以八百二十分爲一限日率，累加八百二十分爲每限日率。【以上俱詳立成。】

五星平立定三差之原

凡五星各以實測，分其行度爲八段，以求積差，略如日月法。

木星【立差加，平差減。】

各置其段所測積差度分爲實，以段日爲法除之，爲汎平差。各以汎平差與次段汎平差相較，爲汎平較。　又以汎平較與次段汎平較相較，爲汎立較。　置第一段汎平較三十九秒一六二一，減其下汎立較六秒二四二二，餘三十二秒九一九九，爲初段平立較。加初段汎平差一十分五六七八〇一，共得一十〇分八十九秒七十〇微，爲定差。【秒置萬位。】　置初段平立較差三十二秒九一九九，內減汎立較之半，三秒一二一一，餘二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纖，爲平差。　置汎立差之半，三秒一二一一，以段日爲法除二次，得二微三十六纖，爲立差。

已上爲木星平立定三差之原。

火星盈初縮末。【立差減，平差減。】

汎平較前多後少，應加汎立較。　置初段下汎平較六分一三九八四七二九六八七五，加汎立較一十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二五，爲初日下平立較。　置初段汎平差八十二分二十〇秒六五七三四八四三七五，加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，爲定差。　置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，加汎立較之半，六秒五九八九六〇九三七五，得六分三三七八一六一二五爲實，以段日而一，得八十三秒一十一微八十九纖，爲平差。　置汎立較之半，六秒五九八九六〇九三七五，以段日七日六十二刻五十分爲法除二次，得一十一微三十五纖爲立差。

火星縮初盈末【平差負減，立差減。】

取汎立較均停者，三十九秒五八二一三七五，以較一段下汎平較一十三秒二六四八三一二五，餘二十六秒三一七三〇六二五爲較較，以加一段下汎平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，爲定差。　置較較二十六秒三一七三〇六二五，以段日一十五日二十五刻而一，得一秒七二五七二五。再置汎立較之半一十九秒七九一〇六八七五，以段日而一，得一秒二九七七七五。兩數並得三秒〇二微三十五纖，爲平差。　置汎立較之半一十九秒七九一〇六八七五，以段日一十五日二五爲法除二次，得八微五十一纖，爲立差。

已上爲火星平立定三差之原。

土星盈曆【立差加，平差減。】

置第一段下汎平較，內減其下汎立較，餘五十〇秒九一七九七五，爲平立較。　以平立較，加本段汎平差，得一十五分一十四秒六十一微，爲定差。　置平立較，內減汎立較之半，三秒七四二六七五，餘四十七秒一七五三，以段日十一日五十刻而一，得四秒一十〇微二十二纖，爲平差。　置汎立較之半，以段日除二次，得二微八十三纖，爲立差。

土星縮曆【立差加，平差減。】

置一段汎平較，內減其下汎立較，餘二十一秒七七二三七五，爲平立較。以平立較加入本段汎平差，得一十一分〇一秒七十五微，爲定差。　置平立較，內減汎立較之半，四秒三七七四七五，餘一十七秒三九四九，以段日一十一日五十刻爲法除之，得一秒五十一微二十六纖，爲平差。　置汎立較之半，以段日爲法除二次，得三微三十一纖，爲立差。

已上爲土星平立定三差之原。

金星【立差加，平差減。】

置一段下汎平較，與其汎立較相減，餘一秒八六八一七五爲平立較，以加汎平差，得三分五十一秒五十五微，爲定差。　置平立較，與汎立較之半，一秒八六四七二五相減，餘三十四纖，以段日一十一日五十刻爲法除之，得三纖，爲平差。　置汎立較之半，以段日爲法除二次，得一微四十一纖，爲立差。

已上爲金星平立定三差之原。

水星【立差加，平差減。】

術同金星，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纖，立差一微四十一纖。

已上爲水星平立定三差之原。

右五星，皆以立差爲秒，平差爲本，定差爲總。五星各以段次因秒，木土金水四星併本，惟火星較本，各以積日而積，五星皆較總，又各以積日乘之，得各實測之度分。

五星積日，皆以度率，除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一爲象限，惟火星用象限三之一，減象限爲盈初縮末限，加象限爲縮初盈末限。其命度爲日者，爲各取盈縮曆乘除之便，其實積日之數，即積度也。

里差刻漏

求二至差股及出入差。　術曰：置所測北極出地四十度九十五分爲半弧背，以前割圓弧矢法，推得出地半弧弦三十九度二十六分，爲大三斜中股。　置測到二至黃赤道內外度二十三度九十分爲半弧背，以前法推得內外半弧弦二十三度七十一分。【又爲黃赤道大句，又爲小三斜弦。】　置內外半弧弦自之爲句冪，半徑自之爲弦冪，二冪相減，開方得股，以股轉減半徑，餘四度八十一分爲二至出入矢，即黃赤道內外矢。　夏至日，南至地平七十四度二十六分半爲半弧背，求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。　半徑六十〇度八十七分半，爲大三斜中弦。　置大三斜中股三十九度二十六分，以二至內外半弧弦二十三度七十一分乘之爲實，以半徑六十〇度八十七分半爲法除之，得一十五度二十九分，爲小三斜中股。【又爲小股。】　置小三斜中股一十五度二十九分，去減日下至地半弧弦五十八度四十五分，餘四十三度一十六分，爲大股。　以出入矢四度八十一分，去減半徑六十〇度八十七分半，餘五十六度〇六分半，爲大股弦。　置大股弦，以小股一十五度二九乘之爲實，大股四十三度一六爲法除之，得一十九度八十七分爲小弦，即爲二至出入差半弧弦。置　二至出入差半弧弦，依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。　置二至出入差半弧背一十九度九六一四，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分除之，得八十四分一十九秒，爲度差分。

求黃道每度晝夜刻。　術曰：置所求每度黃赤道內外半弧弦，以二至出入差半弧背乘之爲實，二至黃赤道內外半弧弦爲法除之，爲每度出入差半弧背。【又術：置黃赤道內外半弧弦，以度差八十四分一十九秒乘之，亦得出入差半弧背。】　置半徑內減黃赤道內外矢，【即赤道二弦差，見前條立成。】　餘數倍之，又三因之，得數加一度，爲日行百刻度。【　又術：以黃赤道內外矢倍之，以減全徑餘數，三因加一度，爲日行百刻度，亦同。】　置每度出入半弧背，以百刻乘之爲實，日行百刻度爲法除之，得數爲出入差刻。　置二十五刻，以出入差刻視黃道，在赤道內加之，在赤道外減之，得數爲半晝刻，倍之爲晝刻，以減百刻，爲夜刻。

如求冬至後四十四度晝夜刻。術曰：置冬至後四十四度黃赤道內外半弧弦一十七度二十五分六十九秒，【又爲黃赤道小弧弦，前立成中取之。】以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之爲實，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分爲法除之，得一十四度五十二分八十五秒，爲出入半弧背。【又法：置黃赤道內外半弧弦一十七度二五六九，以度差〇度八四一九乘之，亦得一十四度五二八五，爲出入半弧背。】置半徑六十〇度八七五，以四十四度黃赤道內外矢二度五十一分八十一秒【又爲赤道二弦差，前立成中取之。】減之，餘五十八度三十五分六十九秒，【即赤道小弦。】倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，爲日行百刻度。【又術：倍黃赤道內外矢得五度〇三分六十二秒，以減全徑一百二十一度七十五分，亦得一百一十六度七十一分三十八秒，三因加一度，爲日行百刻度，亦同。】置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之爲實，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒爲法除之，得四刻一十三分七十五秒，爲出入差刻。置二十五刻，以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之，【因冬至後四十四度，黃道在赤道外，故減。】餘二十〇刻八十六分二十五秒，爲半晝刻。倍之得四十一刻七十二分半，爲晝刻。以晝刻減百刻，餘五十八刻二十七分半，爲夜刻。【又術：置出入差刻四刻一十三分七十五秒，倍之，得八刻二十七分半，以減春秋分晝夜五十刻，得四十一刻七十二分半，爲晝刻。以倍刻加五十刻，得五十八刻二十七分半，爲夜刻。晝減故夜加，餘倣此。】

黃道每度晝夜刻立成

右曆草所載晝夜刻分，乃大都【即燕京】晷漏也。夏晝、冬夜極長，六十一刻八十四分，冬晝、夏夜極短，三十八刻一十六分。明既遷都於燕，不知遵用。惟正統己巳奏准頒曆用六十一刻，而衞然非之。景泰初仍復用南京晷刻，終明之世未能改正也。

二至出入差圖