志第八

大統曆法一上【法原】

造曆者各有本原，史宜備錄，使後世有以考。如太初之起數鍾律，大衍之造端蓍策，皆詳本志。授時曆以測驗算術爲宗，惟求合天，不牽合律呂、卦爻。然其法之所以立，數之所從出，以及晷影、星度，皆有全書。郭守敬、齊履謙傳中，有書名可考。元史漫無采摭，僅存李謙之議錄、曆經之初稿。其後改三應率及立成之數，與夫割圓弧矢之法，平立定三差之原，盡削不載。使作者精意湮沒，識者憾焉。今據大統曆通軌及曆草諸書，稍爲編次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股測望，曰弧矢割圓，曰黃赤道差，曰黃赤道內外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。

句股測望

北京立四丈表，冬至日午正，測得景長七丈九尺八寸五分。隨以簡儀測到太陽南至地平二十六度四十六分半，爲半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半徑，截矢餘五十四度九十六分爲股，乃本地去戴日下之度。以弦股別句術，求得句二十六度一十七分六十六秒，爲日出地半弧弦。

北京立四丈表，夏至日午正，測得景長一丈一尺七寸一分。隨以簡儀測到太陽南至地平七十四度二十六分半，爲半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半徑，截矢餘一十七度一十三分二十五秒爲句，乃本地去戴日下之度。以句弦別股術，求得股五十八度四十五分半，爲日出地半弧弦。

以二至日度相併，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，爲北京赤道出地度。以赤道出地度轉減周天四之一，餘四十度九十四分九十三秒七十五微，爲北京北極出地度。

弧矢割圓

周天徑一百二十一度七十五分少。【少不用。】　半徑六十〇度八十七分半。【又爲黃赤道大弦。】　二至黃赤道內外半弧背二十四度。【所測就整。】　二至黃赤道弧矢四度八十四分八十二秒。　黃赤道大句二十三度八十分七十秒。　黃赤道大股五十六度〇二分六十八秒。【半徑內減去矢度之數。】

割圓求矢術　置半弧背度自之，爲半弧背羃，周天徑自之，爲上廉。　上廉乘半弧背羃，爲正實。　上廉乘徑，爲益從方。　半弧背倍之，乘徑，爲下廉。　以初商乘上廉，得數以減益從方，餘爲從方。　置初商自之以減下廉，餘以初商乘之，爲從廉。　從方、從廉相並，爲下法。　下法乘初商，以減正實，實不足減，改初商。實有不盡，次第商除之。　倍初商數，與次商相並以乘上廉，得數以減益從方，餘爲從方。　幷初商次商而自之，又以初商自之，並二數以減下廉，餘以初商倍數並次商乘之，爲從廉。　從方、從廉相並，爲下法。　下法乘次商，以減餘實，而定次商。有不盡者，如法商之，皆以商得數爲矢度之數。【黃赤道同用。】

如以半弧背一度求矢度。　術曰：置半弧背一度自之，得一度，爲半弧背羃。　置周天徑一百二十一度太自之，得一萬四千八百二十三度〇六分二十五秒，爲上廉。　上廉乘半弧背羃，得一萬四千八百二十三度〇六分二五，爲正實。　上廉又乘徑，得一百八十〇萬四千七百〇七度八十五分九十三秒七五，爲益從方。　半弧背一度倍之，得二度，以乘徑得二百四十三度五十分，爲下廉。　初商八十秒。　置初商八十秒乘上廉一萬四千八百二十三度〇六二五，得一百一十八度五八四五，以減益從方一百八十〇萬四千七百〇七度八五九三七五，餘一百八十〇萬四千五百八十九度二七四八七五，爲從方。　又置初商八十秒自之，得六十四微，以減下廉，餘二百四十三度四九九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，爲從廉。　以從廉、從方並之，共得一百八十〇萬四千五百九十一度二二二八七四四八八，爲下法。　下法乘初商，得一萬四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九〇四，以減正實，餘實三百八十六度三十三分二七一七〇〇四〇九六。　次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二秒，得一分六十二秒，乘上廉一萬四千八百二十三度〇六二五，得二百四十〇度一三三六一二五，以減益從方，餘一百八十〇萬四千四百六十七度七二五七六二五，爲從方。　又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之數，得一秒三十一微，以減下廉，餘二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，爲從廉。　以從廉、從方並，得一百八十〇萬四千四百七十一度六十七分〇四六〇三七七八，爲下法。　下法乘次商，得三百六十〇度八九四三三四〇九二〇七五五六，以減餘實，仍餘二十五度四三八三八二九一二〇二〇四四。【不足一秒棄不用，下同。】

凡求得矢度八十二秒，餘度各如上法，求到矢度，以爲黃赤相求及其內外度之根。【數詳後。】

黃赤道差

求黃道各度下赤道積度術。　置周天半徑內減去黃道矢度，餘爲黃赤道小弦。　置黃赤道小弦，以黃赤道大股乘之【大股見割圓】爲實。　黃赤道大弦【半徑】爲法。實如法而一，爲黃赤道小股。　置黃道矢自乘爲實，以周天全徑爲法，實如法而一，爲黃道半背弦差。　以差去減黃道積度，【即黃道半弧背。】餘爲黃道半弧弦。　置黃道半弧弦自之爲股羃，黃赤道小股自之爲句羃，二羃並之，以開平方法除之，爲赤道小弦。　置黃道半弧弦，以周天半徑【亦爲赤道大弦】乘之爲實，以赤道小弦爲法而一，爲赤道半弧弦。　置黃赤道小股，【亦爲赤道橫小句。】以赤道大弦【即半徑】乘之爲實，以赤道小弦爲法而一，爲赤道橫大句，以減半徑，餘爲赤道橫弧矢。橫弧矢自之爲實，以全徑爲法而一，爲赤道半背弦差。　以差加赤道半弧弦，爲赤道積度。

如黃道半弧背一度，求赤道積度。　術曰：置半徑六十〇度八十七分五十秒，【即黃赤道大弦。】內減黃道矢八十二秒餘六十〇度八六六八，爲黃赤道小弦。　置黃赤道小弦，以黃赤道大股五十六度〇二六八乘之，得三千四百一十〇度一七二〇三〇二四爲實，以黃赤道大弦六十〇度八七五爲法，實如法而一，得五十六度〇一分九十二秒，爲黃赤道小股。【又爲赤道小句。】　置矢度八十二秒自之，得六十七微，以全徑一百二十一度七五爲法，除之得五十五纖，爲黃道半背弦差。　置黃道半弧背一度，內減黃道半背弦差，餘爲半弧弦，因差在微以下不減，即用一度爲半弧弦。　置黃道半弧弦一度自之，得一度爲股羃。黃赤道小股五十六度〇一九二自之，得三千一百三十八度一五〇七六八六四爲句羃。二羃並得三千一百三十九度一五〇七六八六四爲弦實，平方開之，得五十六度〇二八一，爲赤道小弦。　置黃道半弧弦一度，以半徑【即赤道大弦】乘之，得六十〇度八七五爲實，以赤道小弦五十六度〇二八一爲法除之，得一度〇八分六十五秒，爲赤道半弧弦。　置黃赤道小股五十六度〇一九二，【又爲赤道小句。】以赤道大弦【半徑】六十〇度八七五乘之，得三千四百一十〇度一六八八爲實，以赤道小弦爲法除之，得六十〇度八十六分五十三秒，爲赤道橫大句。　置半徑六十〇度八十七分五十秒，內減赤道大句六十〇度八十六分五十三秒，餘九十七秒，爲赤道橫弧矢。　置赤道橫弧矢九十七秒自之，得九十四微〇九，以全徑爲法除之，得七十七纖，爲赤道背弦差。　置赤道半弧弦一度〇八分六十五秒，加赤道背弦差，爲赤道積度，今差在微已下不加，即用半弧弦爲積度。

凡求得赤道積度一度〇八分六十五秒。餘度各如上法，求到各黃道度下赤道積度，兩數相減，即得黃赤道差，乃至後之率。其分後，以赤道度求黃道，反此求之，其數並同。

黃赤道相求弧矢諸率立成上

黃赤相求弧矢諸率立成下

按郭守敬創法五端，內一曰黃赤道差，此其根率也。舊法以一百一度相減相乘。授時立術，以句股、弧矢、方圓、斜直所容，求其差數，合於渾象之理，視古爲密。顧至元曆經所載甚略，又誤以黃道矢度爲積差，黃道矢差爲差率，今正之。

割圓弧矢圖

凡渾圓中剖，則成平圓。任割平圓之一分，成弧矢形，皆有弧背，有弧弦。有矢。剖弧矢形而半之，則有半弧背，有半弧弦，有矢。因弦矢生句股形，以半弧弦爲句，矢減半徑之餘爲股，半徑爲弦。句股內成小句股，則有小句、小股、小弦，而大小可互求，平側可互用，渾圓之理，斯爲密近。

側立之圖

平者爲赤道，斜者爲黃道。因二至黃赤之距，生大句股。因各度黃赤之距，生小句股。

平視之圖

外大圓爲赤道。從北極平視，則黃道在赤道內，有赤道各度，即各有其半弧弦，以生大句股。又各有其相當之黃道半弧弦，以生小句股。此二者皆可互求。

按舊史無圖，然表亦圖之屬也。今句股割圓弧矢之法，實爲曆家測算之本。非圖不明，因存其要者數端。

黃赤道內外度

推黃道各度，距赤道內外及去極遠近術。　置半徑內減去赤道小弦，餘爲赤道二弦差。【又爲黃赤道小弧矢，又爲內外矢，又爲股弦差。】　置半徑內減去黃道矢度，餘爲黃赤道小弦。以二至黃赤道內外半弧弦乘之爲實，以黃赤道大弦爲法，【即半徑。】除之爲黃赤道小弧弦。【即黃赤道內外半弧弦，又爲黃赤道小句。】　置黃赤道小弧矢自之，【即赤道二弦差。】以全徑除之，爲半背弦差。以差加黃赤道小弧弦爲黃赤道小弧半背，即黃赤道內外度。　置黃赤道內外度，視在盈初縮末限以加，在縮初盈末限以減，皆加減象限度，即各得太陽去北極度分。

如冬至後四十四度，求太陽去赤道內外及去極度。　術曰：置半徑六十〇度八十七分半，內減黃道四十四度下赤道小弦五十八度三十五分六十九秒，餘二度五十一分八十一秒，爲黃赤道小弧矢。【即內外矢。】　置半徑六十〇度八七五，內減黃道四十四度，矢一十六度五十六分八十二秒，餘四十四度三十〇分六十八秒，爲黃赤道小弦。　置黃赤道小弦，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分乘之，得一千〇五十〇度五十一分四二三八爲實，以黃赤道大弦六十〇度八七五爲法除之，得一十七度二十五分六十九秒爲黃赤道小弧弦。【即內外半弧弦。】　置黃赤道小弧矢二度五十一分八十一秒自之爲實，以全徑一百二十一度七十五分除之，得五分二十一秒爲背弦差，以差加黃赤道小弧弦一十七度二十五分六十九秒，得一十七度三十〇分八十九秒，爲二至前後四十四度，太陽去赤道內外度。　置象限九十一度三十一分四十三秒七五，以內外度一十七度三〇八九加之，得一百〇八度六十二分三十二秒七五，爲冬至後四十四度太陽去北極度。

黃道每度去赤道內外及去北極立成

白道交周

推白赤道正交，距黃赤道正交極數。術曰：置實測白道出入黃道內外六度爲半弧弦，又爲大圓弧矢，又爲股弦差。置半徑六十〇度八七五自之，得三千七百〇五度七六五六二五，以矢六度而一，得六百一十七度六十三分爲股弦和，加矢六度，共六百二十三度六十三分爲大圓徑。依法求得容闊五度七十分，又爲小句。　又以二至出入半弧弦二十三度七十一分爲大句。　以大句爲法，除大股五十六度〇六分五十秒，得二度三十七分【就整】爲度差。　以度差乘小句，得小股一十三度四十七分八十二秒，爲容半長。　置半徑六十〇度八七五爲大弦，以乘小句五度七十分爲實，以大句二十三度七十一分爲法除之，得一十四度六十三分爲小弦，又爲白赤道正交，距黃赤道正交半弧弦。　依法求得半弧背一十四度六十六分，爲白赤道正交距黃赤道正交極數。

月道距差圖